四、河方洛圆
南宋蔡沉关于河洛的观点。认为河图“体圆而用方”，洛书“体方而用圆”。以作用言，则河主洛圆。其《洪范皇极·内篇》：“数之方生，化育流行。数之已定，物正性命。圆行方止，为物终始”。认为洛书之数方生于一，由一而三，由三而九，主流行；河图之数已定于二，由二而四，由四而八，主定性。“圆行”指洛书，其用为圆，表示万物起始；“方止”，指河图，其用为方，表示万物终止。
五、河奇洛偶
南宋朱熹、蔡元定关于河洛的观点。其《易学启蒙》认为河图象天圆，其数为三，为奇；洛书象地方，其数为二，为偶。
六、河偶洛奇
南宋蔡沉关于河洛的观点。其着《洪范皇极》以为河图之数为偶，“体圆而用方”；洛书之数为奇，“体方而用圆”。与《易学启蒙》河奇洛偶说相反。“河图非无奇也，而用则存乎偶。洛书非无偶也，而用则存乎奇。偶者阴阳之对待乎，奇者五行之迭运乎！对待者不能孤，迭动者不能穷。天地之形，四时之成，人物之生，万化之凝，其妙矣乎”！“河图体圆而用方，圣人以立而画卦；洛书体方而用圆，圣人以之而叙畴”。（《洪范皇极·内篇》）以二者作用立论。河图之数虽有奇，但奇偶之数的排列，皆以阴阳相配，显示其用为偶；洛书之数虽有偶，但其奇数或居正位，或居中位，体现五行相生、相胜顺序，显示其用为奇。由于河图之用为偶，故天地万物皆接阴阳之家相互对立；洛书之用为奇，故天地万物又接五行顺序相互流转。
七、河象洛数
南宋蔡沉河洛观点。认为河图主象，洛书主数。卦象出于河图。九畴出于洛书；河图讲阴阳之象，洛书言五行之数；阴阳之象为偶，五行之数为奇。河图为《周易》系统，《周易》讲象，基于偶数；洛书为《洪范》系统，《洪范》讲数，基于奇数。河图主偶，偶为象之始；洛书主奇，奇为数之始。“河图体圆而用方，圣人以之而画卦。洛书体方而用圆，圣人以之而叙畴。卦者阴阳之象也，畴者五行之数也。象非偶不立，数非奇不行。奇偶之分，象数之始也”。
“体天地之撰者，易之象；纪天地之撰者，范之数。数者始于一，象者成于二。一者奇，二者偶也。奇者数之所以行，偶者象之所以立。故二而四，四而八，八者卦之象也。一而三，三而九，九者九畴之数也。由是重之，八而六十四，六十四而四千九十六，而象备矣。九而八十一，八十一而六千五百六十一，而数周矣”。（《洪范皇极·序》）认为河、洛互为经纬，象、数殊途同归。“数之与象，若异用也，而本则一；若殊途也，而归则同。不明乎数，不足与语象；不明乎象，不足与语数。二者可以相与，不可以相无也”。（《洪范皇极·内篇》）继承其父象数传统，又从数学观点研究河洛，将洛书视为数的本原和万事万物的基本原则。其讲河洛象数在于说明天地万物形成和变化规律，较《易学启蒙》以河洛说明象数及筮法来源更进一步。
八、九九圆数图
南宋蔡沉说明一年节气变化的图式，图见其《洪范皇极·内篇》。以洛书之数主动，效法邵雍后天方位图式，按九宫
图横式推衍出此图。认为洛书为《洪范》系统，而《洪范》之数的变化，由一而三，由三而九，由九而八十一。故按九九歌顺序，将一年中的二至、二分、四立分别纳入图中。冬至为一一，立春为二二，春分为三三，秋分为七七，立冬为八八。“一数之周，一岁之运也。九数之重，八节之分也。一一阳之始也，五五阴之萌也，三三阳之中也，七七阴之中也。二二者阳之长，八八者阴之壮，九则阴极矣”。（《洪范皇极·内篇》）此图式左半圈为阳气上升过程，右半罪状为阴气上升过程，既体现五行相生次序，即冬至春为水生木，春至夏为木生火，夏至秋为火生土，土生金，秋至冬为金生水；又体现五行相克次序，即奏为金克木、木克土，夏天为火克金，秋天为水克火，冬天为土克水。“相生则水木火土金，相克则水火金木土。出明入幽，千变万化，四时之运，生克着焉”。（《洪范皇极·内篇》）反映了蔡氏重视数的地位，以数为万物秩序和变化规律的思想。
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